Справочные материалы по математике 11 класс
.RU

Справочные материалы по математике 11 класс


Формулы сокращенного умножения.





Прогрессии

  1. Арифметическая прогрессия.

- каждый член прогрессии равен предыдущему + одно и то же число ( d ).

d – разность арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:



Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:



Свойство n-го члена арифметической прогрессии:



  1. Геометрическая прогрессия.

- каждый член прогрессии равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ( q ).

q – знаменатель геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:



Формула суммы n первых членов прогрессии:



Свойство n-го члена геометрической прогрессии:



Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: если , то ее полная сумма равна .

Степени и корни.

1..

2.

3. .

4. .

5..

6. .

7. .

8. .

9. .

10.

Решение иррациональных неравенств:





Логарифмы.

  1. Определение: , где с – показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b: , .

  2. Основное логарифмическое тождество: .

  3. .







  4. Формула перехода к новому основанию:



Тригонометрия.

Основные тригонометрические тождества:



Формулы сложения и вычитания аргументов:



Формулы двойного, тройного аргумента:



Формулы понижения степени:



Формулы преобразования суммы и разности функций в произведение:



Преобразование произведения в сумму:



Формулы приведения:



  1. Если или ,то функция меняется, если или , то функция не меняется.

  2. Перед результатом ставим тот знак, который имеет первоначальная функция в заданной четверти.

Тригонометрические уравнения.



Частные случаи:





Частные случаи:







Свойства обратных тригонометрических функций:



Тригонометрические неравенства.

































Свойства функций.

  1. Четность:

- график функции симметричен относительно оси OY.

Нечетность:

- график функции симметричен относительно начала координат.

  1. Периодичность:

Наименьший положительный период функции находится по формуле , где - период функции .

  1. Область определения функции D(y):

    1. Знаменатель не равен 0.

    2. Подкоренное выражение ≥ 0.

    3. Подлогарифмическое выражение >0.

Преобразование графиков функций.

  1. y=f(x) ± b – перенос графика вверх ( если + ) или вниз ( если - ).

  2. y=f(x±b) – перенос графика вправо ( если - ) или влево (если + ).

  3. y= -f(x) – симметрия относительно оси OX.



  1. y=f(-x) – симметрия относительно оси OY.



  1. y=kf(x) – если k>1, то растяжение от оси OX, если k<1, то сжатие к оси OX.



  1. y=f(kx) – если k>1, то сжатие к оси OY, если k<1, то растяжение от оси OY.



  1. - все, что ниже оси OX симметрично отражаем вверх.



  1. - все, что левее оси OY стираем, а всю правую часть симметрично отражаем влево.




Основные графики и функции.

  1. y=kx+b – линейная функция, график – прямая. D(y)=R, E(y)=R. k>0 – функция возрастающая, k<0 – функция убывающая.



  1. y=kx – прямая пропорциональность, график – прямая. D(y)=R, E(y)=R. k>0 – функция возрастающая, k<0 – функция убывающая.



  1. - обратная пропорциональность, график – гипербола. D(y)= (-∞;0)(0;+ ∞),E(y) = (-∞;0)(0;+ ∞), при k>0 функция убывает на D(y), при k<0 функция возрастает на D(y).

  2. - квадратичная функция, график – парабола. D(y)=R, E(y)=




  1. - квадратичная функция, график – парабола. D(y)=R. Вершина параболы (m;n): , n –подставить значение m в функцию вместо x. При a>0 ветви направлены вверх, при a<0 ветви направлены вниз.

  2. - график – кубическая парабола. D(y)=R, E(y)=R, функция возрастает на R.




  1. график – перевернутая парабола. D(y)= , E(y)=.



  1. , D(y)=R, E(y)=



  1. - показательная функция, график – экспонента. D(y)=R, E(y)=(0;+∞). При a>1 функция возрастает на R , при 0



  1. - логарифмическая функция. D(y)=(0;+∞), E(y)=R. При a>1 функция возрастает на D(y), при 0



  1. y=sin x график – синусоида. D(y)=R, E(y)=



  1. y=cos x, график – косинусоида. D(y)=R, E(y)=



  1. y=tg x , график - тангенсоида. D(y): , E(y)=R, функция возрастает на D(y).



  1. y=ctg x, график – котангенсоида. D(y): , E(y)=R, функция убывает на D(y).



  1. y=arcsin x , D(y)=, E(y)=. arcsin (-x)=-arcsin x – функция нечетная.



  1. y=arcos x. D(y)= , E(y)=, arcos(-x)=-arccos x.



  1. y=arctg x. D(y)=R, E(y)=, arctg(-x)=-arctg x, функция нечетная.



  1. y=arcctg x.D(y)=R, E(y)=, arcctg(-x)=-arcctg x




Производная и интеграл.

Производная.

Правила нахождения производной:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. Производная сложной функции



Таблица производных:

f(x)

C

x













0

1

2x












sin x

cos x

tg x

ctg x

arcsin x

arcos x

cos x

-sin x












arctg x

arcctg x





ln x
















Физический смысл производной:




Геометрический смысл производной:

  1. Угловой коэффициент касательной (угол наклона касательной к положительному направлению оси OX)



  1. Уравнение касательной к графику функции в точке:

Применение производной:

  1. Найти D(y).

  2. Критические точки (стационарные): .

  3. Функция возрастает, если >0; функция убывает, если <0.




Интеграл.

Общий вид первообразной: F(x)+C.

Три правила нахождения первообразной:

  1. Для функции f(x)+g(x) первообразная имеет вид: F(x)+G(x).

  2. Для функции kf(x) первообразная имеет вид: kF(x).

  3. Для функции f(kx+b) первообразная имеет вид: .

Таблица первообразных:

f(x)

0

C

x









F(x)

x

Cx














sin x

cos x









-cos x

sin x

tg x

-ctg x

arctg x

arcsin x
















Формула Ньютона – Лейбница:




Физический смысл интеграла:



Геометрический смысл интеграла:

Площадь фигуры, ограниченной линиями (площадь криволинейной трапеции)
















Объем тел вращения:



Комбинаторика, теория вероятностей.

Факториал:

Перестановки:

Размещения:

Сочетания:


Схема решения задач по комбинаторике:



Правило сложения:

Если объект А можно выбрать а способами, а объект В – b способами, то выбор или А, или В можно сделать a+b способами.

Правило умножения:

Если объект А можно выбрать а способами, а объект В – b способами, то выбор и А, и В можно сделать a∙b способами.

Бином Ньютона:



k-тый член разложения бинома Ньютона:



Формула классической вероятности: , где n – число всех возможных способов, m – число всех благоприятных способов.

Формула Бернулли:, где n – количество испытаний, в которых данное событие должно наступить k раз, p – вероятность наступления данного события при одном испытании, q=1-p.


Геометрия

Треугольник.





Теорема синусов:, где R – радиус описанной окружности.

Теорема косинусов: и т.д. Для тупого угла:

  1. Средняя линия треугольника:





  1. Подобие треугольников:



Признаки подобия:

  1. по двум углам.

  2. по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

  3. по трем пропорциональным сторонам.

Если треугольники подобны, то их стороны пропорциональны: ( соблюдаем условие – равные углы в записи треугольников стоят на одинаковых местах).

  1. Разносторонний треугольник ( в том числе и равнобедренный):

Площадь :

формула Герона:

Радиусы вписанной и описанной окружности:



  1. Равносторонний треугольник:



  1. Прямоугольный треугольник:



Теорема Пифагора:





Центр описанной окружности – середина гипотенузы.

Четырехугольник

  1. Параллелограмм.





Связь между сторонами и диагоналями:



  1. Прямоугольник.





  1. Квадрат.



  1. Ромб.



  1. Трапеция.



MN- средняя линия.

Правильный шестиугольник.



Выпуклый n-угольник.

Сумма внутренних углов: .

Сумма внешних углов равна 360˚.


Свойства высоты в прямоугольном треугольнике.



Свойство биссектрисы в произвольном треугольнике.



Окружность и круг.





d=2R. Длина окружности:

Площадь круга: .

Длина дуги:

  1. Свойство хорд, касательных и секущей.

AK∙KB=DK∙KC (свойство хорд)

KB∙AK=KC∙KD (свойство секущих)

(свойство касательной и секущей).

(свойство радиуса и касательной).

  1. Свойство четырехугольника, вписанного и описанного вокруг окружности.

ABCD – трапеция, вписанная в окружность: AB=CD.

ABCD – трапеция, описанная около окружности: AB+CD=AD+BC.


Декартовые координаты и вектора.

  1. координаты середины отрезка.

Точка C(x,y,z) – середина AB, где



  1. расстояние между точками



  1. симметрия:

    1. относительно точки О



    1. относительно прямой а



    1. относительно плоскости



  1. параллельный перенос

x′= x+a; y′= y+b; z′= z+c.

  1. координаты вектора



  1. модуль вектора ( абсолютная величина вектора или длина вектора )



  1. сумма и разность векторов



  1. коллинеарность ( параллельность ) векторов

и коллинеарны, если , если k>0, то вектора сонаправлены, если k<0, то вектора противоположно направлены.

  1. скалярное произведение векторов



  1. перпендикулярность векторов

если , то =0

  1. графическое сложение и вычитание векторов

правило треугольника (сложение ) :



Правило параллелограмма (сложение ) :



Правило вычитания:



  1. Уравнение окружности:

, где R – радиус окружности, точка (a;b) – центр окружности.

  1. Уравнение прямой:

ax+by+c=0.

Взаимное расположение прямых и :

  1. Прямые параллельны, если ;

  2. Прямые совпадают, если ;

  3. Прямые пересекаются, если .

Стереометрия.

Угол между прямой и плоскостью:



AB – прямая, AC – перпендикуляр, BC – проекция.

^ Угол между плоскостями ( двугранный угол )

или




Площадь ортогональной проекции

ABD – проекция ABC. Угол между плоскостями - .



Куб.

все ребра равны, все грани – квадраты.



Прямоугольный параллелепипед.

все грани прямоугольники, диагональ ,


Призма.

Прямая призма.





Наклонная призма.



Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней или , где - периметр перпендикулярного сечения (MNK), l – боковое ребро.



Пирамида.

Произвольная пирамида:





Правильная пирамида.

SK = l – апофема.



Усеченная правильная пирамида.





Положение высоты в пирамидах.

  1. Если все боковые ребра равны или наклонены к основанию под одинаковым углом, то основание высоты – центр описанной окружности.

OA=OB=OC=R

  1. Если все боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом или все высоты боковых граней равны, то основание высоты – центр вписанной окружности.

OK=r – радиус вписанной окружности.



  1. Если одна боковая грань перпендикулярна к основанию, то высота пирамиды является высотой этой боковой грани.




  1. Если две боковые грани перпендикулярны к основанию, то высотой пирамиды является их общее боковое ребро.



^ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Цилиндр.





Конус.




Усеченный конус.





Сфера и шар.





Сегмент.



- высота сегмента.

- радиус шара.

- площадь сферической поверхности сегмента.



Сектор.



Шаровой срез ( слой ).











sr-holmogorov-razrabotka-dolzhnostnih-instrukcij-specialistov-na-primere-dolzhnostnoj-instrukcii-vedushego-inzhenera-tehnologa.html
srav-nitelnij-portret-muzhskoj-populyacii-izmerenie-urovnya-samoaktualizacii-kulturno-prosvetitelskaya-fabula.html
sravnenie-dvuh-form-osushestvleniya-predprinimatelskoj-deyatelnosti-3.html
sravnenie-grineva-i-shvabrina.html
sravnenie-ksenonovoj-anestezii-i-totalnoj-vnutrivennoj-anestezii-u-pacientov-hirurgicheskogo-profilya-s-visokim-riskom.html
sravnenie-oboronitelnih-operacij-kievskoj-i-leningradskoj.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sovremennoe-sostoyanie-strahovaniya-v-rossii-i-ssha-chast-12.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/obrazovatelnij-standart-srednee-specialnoe-obrazovanie-specialnost-2-40-01-01-programmnoe-obespechenie.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/mehanizmi-realizacii-strategii-razdatochnih-materialov.html
  • education.bystrickaya.ru/-6-sushnost-i-sostavlyayushie-socialno-ekonomicheskogo-upravleniya-ihtik-g-ufa.html
  • learn.bystrickaya.ru/gidrotehnicheskie-sooruzheniya-plotini-i-gidroturbini.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tema-3-prestupleniya-protiv-semi-i-nesovershennoletnih-kurs-lekcij-po-discipline-ugolovnoe-pravo-respubliki-kazahstan.html
  • education.bystrickaya.ru/35-psihologo-pedagogicheskaya-podderzhka-publichnij-otchyot-o-sostoyanii-i-rezultatah-deyatelnosti-sistemi-obrazovaniya.html
  • essay.bystrickaya.ru/elektronnij-nauchnij-zal-novaya-realnost-avtor-proekta.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/9-v-otbleskah-istorii-yu-g-popov-kraeved-pochetnij-grazhdanin.html
  • literatura.bystrickaya.ru/saba-bl-erkn-eld-senm-artar-erte-slem-berdk-azhap-izdarazat-l.html
  • reading.bystrickaya.ru/li-yakokka.html
  • uchit.bystrickaya.ru/studencheskaya-ekologicheskaya-iniciativa-dlya-zametok.html
  • institut.bystrickaya.ru/statya-90-platelshiki-naloga-na-dobavlennuyu-stoimost-stranica-28.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-teoreticheskaya-mehanika-dlya-specialnostej-260501-tehnologiya-produktov-obshestvennogo-pitaniya-napravlenie-260500-tehnologiya-prodovolstvennih-produktov.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/programma-razvitiya-municipalnogo-obsheobrazovatelnogo-uchrezhdeniya-gimnaziya-vostochnih-yazikov-4.html
  • znanie.bystrickaya.ru/7-ponyat-proshloe-s-pomoshyu-nastoyashego-m-v-astahov-mark-blok-apologiya-istorii-ili-remeslo-istorika-izd-2-e.html
  • occupation.bystrickaya.ru/o-kotoroj-ya-v-eti-dni-zadumal-govorit-yavlyaetsya-mne-v-ot-stranica-8.html
  • tasks.bystrickaya.ru/120-pismo-fk-ot-22-noyabrya-2007-goda-42-71-1753-398-dlya-kategorij-povisheniya-kvalifikacii-specialisti-revizionnih.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-bazi-dannih-rekomendovana-metodicheskim-sovetom-ugtu-upi-dlya-specialnosti.html
  • writing.bystrickaya.ru/boris-pasternak.html
  • studies.bystrickaya.ru/kreditnaya-sistema-rf-chast-3.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zarubezhnie-literaturnie-premii-literaturnie-premii-mira.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/programma-profilnogo-kursa-informatika-i-ikt.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/razdel-ii-rekomendacii-po-osnasheniyu-kabineta-fiziki-laboratornim-oborudovaniem-perechen-laboratornogo-oborudovaniya.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/vidi-zapasov-i-ih-naznachenie.html
  • control.bystrickaya.ru/drevnij-egipet-vteni-piramid.html
  • crib.bystrickaya.ru/gosudarstvennoe-kazyonnoe-predpriyatie-kbr-direkciya-edinogo-zakazchika-g-nalchik-ul-i-armand-43-tel-40-94-29-kontaktnoe-lico-kuchmezova-r-a-e-mail-dez-kbr-yandex-ru-stranica-16.html
  • gramota.bystrickaya.ru/zayavka-na-uchastie-v-oblastnom-etape-konkursa-narodnoj-muziki-polozhenie-ob-oblastnoj-zashite-issledovatelskih.html
  • grade.bystrickaya.ru/n-m-amosov-vospitanie-delo-sovesti-obuchenie-delo-nauki-pozdnee-uzhe-v-slozhivshemsya-cheloveke-oba-eti-vida-poznaniya-dopolnyayut-drug-duga-stranica-26.html
  • control.bystrickaya.ru/bill-gejts-biznes-so-skorostyu-misli-stranica-23.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/rukovodstvo-po-kachestvu-list-10-iz-54-433-vsu-stranica-2.html
  • essay.bystrickaya.ru/deyatelnost-komitetov-i-komissij-gd-gosduma-rf-monitoring-smi-30-avgusta-2006-g.html
  • assessments.bystrickaya.ru/doklad-o-sostoyanii-lekarstvennogo-obespecheniya-naseleniya-v-rossijskoj-federacii-2008-g.html
  • reading.bystrickaya.ru/konsolidiran-godishen-doklad-stranica-13.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/pravitelstvo-moskvi-postanovlenie-ot-7-dekabrya-2004-g-n-868-pp-ob-organizacii-monitoringa-geoekologicheskih-processov-v-gorode-moskve.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.