.RU

Справочные материалы по математике 11 класс


Формулы сокращенного умножения.





Прогрессии

  1. Арифметическая прогрессия.

- каждый член прогрессии равен предыдущему + одно и то же число ( d ).

d – разность арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:



Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:



Свойство n-го члена арифметической прогрессии:



  1. Геометрическая прогрессия.

- каждый член прогрессии равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ( q ).

q – знаменатель геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:



Формула суммы n первых членов прогрессии:



Свойство n-го члена геометрической прогрессии:



Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: если , то ее полная сумма равна .

Степени и корни.

1..

2.

3. .

4. .

5..

6. .

7. .

8. .

9. .

10.

Решение иррациональных неравенств:





Логарифмы.

  1. Определение: , где с – показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b: , .

  2. Основное логарифмическое тождество: .

  3. .







  4. Формула перехода к новому основанию:



Тригонометрия.

Основные тригонометрические тождества:



Формулы сложения и вычитания аргументов:



Формулы двойного, тройного аргумента:



Формулы понижения степени:



Формулы преобразования суммы и разности функций в произведение:



Преобразование произведения в сумму:



Формулы приведения:



  1. Если или ,то функция меняется, если или , то функция не меняется.

  2. Перед результатом ставим тот знак, который имеет первоначальная функция в заданной четверти.

Тригонометрические уравнения.



Частные случаи:





Частные случаи:







Свойства обратных тригонометрических функций:



Тригонометрические неравенства.

































Свойства функций.

  1. Четность:

- график функции симметричен относительно оси OY.

Нечетность:

- график функции симметричен относительно начала координат.

  1. Периодичность:

Наименьший положительный период функции находится по формуле , где - период функции .

  1. Область определения функции D(y):

    1. Знаменатель не равен 0.

    2. Подкоренное выражение ≥ 0.

    3. Подлогарифмическое выражение >0.

Преобразование графиков функций.

  1. y=f(x) ± b – перенос графика вверх ( если + ) или вниз ( если - ).

  2. y=f(x±b) – перенос графика вправо ( если - ) или влево (если + ).

  3. y= -f(x) – симметрия относительно оси OX.



  1. y=f(-x) – симметрия относительно оси OY.



  1. y=kf(x) – если k>1, то растяжение от оси OX, если k<1, то сжатие к оси OX.



  1. y=f(kx) – если k>1, то сжатие к оси OY, если k<1, то растяжение от оси OY.



  1. - все, что ниже оси OX симметрично отражаем вверх.



  1. - все, что левее оси OY стираем, а всю правую часть симметрично отражаем влево.




Основные графики и функции.

  1. y=kx+b – линейная функция, график – прямая. D(y)=R, E(y)=R. k>0 – функция возрастающая, k<0 – функция убывающая.



  1. y=kx – прямая пропорциональность, график – прямая. D(y)=R, E(y)=R. k>0 – функция возрастающая, k<0 – функция убывающая.



  1. - обратная пропорциональность, график – гипербола. D(y)= (-∞;0)(0;+ ∞),E(y) = (-∞;0)(0;+ ∞), при k>0 функция убывает на D(y), при k<0 функция возрастает на D(y).

  2. - квадратичная функция, график – парабола. D(y)=R, E(y)=




  1. - квадратичная функция, график – парабола. D(y)=R. Вершина параболы (m;n): , n –подставить значение m в функцию вместо x. При a>0 ветви направлены вверх, при a<0 ветви направлены вниз.

  2. - график – кубическая парабола. D(y)=R, E(y)=R, функция возрастает на R.




  1. график – перевернутая парабола. D(y)= , E(y)=.



  1. , D(y)=R, E(y)=



  1. - показательная функция, график – экспонента. D(y)=R, E(y)=(0;+∞). При a>1 функция возрастает на R , при 0



  1. - логарифмическая функция. D(y)=(0;+∞), E(y)=R. При a>1 функция возрастает на D(y), при 0



  1. y=sin x график – синусоида. D(y)=R, E(y)=



  1. y=cos x, график – косинусоида. D(y)=R, E(y)=



  1. y=tg x , график - тангенсоида. D(y): , E(y)=R, функция возрастает на D(y).



  1. y=ctg x, график – котангенсоида. D(y): , E(y)=R, функция убывает на D(y).



  1. y=arcsin x , D(y)=, E(y)=. arcsin (-x)=-arcsin x – функция нечетная.



  1. y=arcos x. D(y)= , E(y)=, arcos(-x)=-arccos x.



  1. y=arctg x. D(y)=R, E(y)=, arctg(-x)=-arctg x, функция нечетная.



  1. y=arcctg x.D(y)=R, E(y)=, arcctg(-x)=-arcctg x




Производная и интеграл.

Производная.

Правила нахождения производной:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. Производная сложной функции



Таблица производных:

f(x)

C

x













0

1

2x












sin x

cos x

tg x

ctg x

arcsin x

arcos x

cos x

-sin x












arctg x

arcctg x





ln x
















Физический смысл производной:




Геометрический смысл производной:

  1. Угловой коэффициент касательной (угол наклона касательной к положительному направлению оси OX)



  1. Уравнение касательной к графику функции в точке:

Применение производной:

  1. Найти D(y).

  2. Критические точки (стационарные): .

  3. Функция возрастает, если >0; функция убывает, если <0.




Интеграл.

Общий вид первообразной: F(x)+C.

Три правила нахождения первообразной:

  1. Для функции f(x)+g(x) первообразная имеет вид: F(x)+G(x).

  2. Для функции kf(x) первообразная имеет вид: kF(x).

  3. Для функции f(kx+b) первообразная имеет вид: .

Таблица первообразных:

f(x)

0

C

x









F(x)

x

Cx














sin x

cos x









-cos x

sin x

tg x

-ctg x

arctg x

arcsin x
















Формула Ньютона – Лейбница:




Физический смысл интеграла:



Геометрический смысл интеграла:

Площадь фигуры, ограниченной линиями (площадь криволинейной трапеции)
















Объем тел вращения:



Комбинаторика, теория вероятностей.

Факториал:

Перестановки:

Размещения:

Сочетания:


Схема решения задач по комбинаторике:



Правило сложения:

Если объект А можно выбрать а способами, а объект В – b способами, то выбор или А, или В можно сделать a+b способами.

Правило умножения:

Если объект А можно выбрать а способами, а объект В – b способами, то выбор и А, и В можно сделать a∙b способами.

Бином Ньютона:



k-тый член разложения бинома Ньютона:



Формула классической вероятности: , где n – число всех возможных способов, m – число всех благоприятных способов.

Формула Бернулли:, где n – количество испытаний, в которых данное событие должно наступить k раз, p – вероятность наступления данного события при одном испытании, q=1-p.


Геометрия

Треугольник.





Теорема синусов:, где R – радиус описанной окружности.

Теорема косинусов: и т.д. Для тупого угла:

  1. Средняя линия треугольника:





  1. Подобие треугольников:



Признаки подобия:

  1. по двум углам.

  2. по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

  3. по трем пропорциональным сторонам.

Если треугольники подобны, то их стороны пропорциональны: ( соблюдаем условие – равные углы в записи треугольников стоят на одинаковых местах).

  1. Разносторонний треугольник ( в том числе и равнобедренный):

Площадь :

формула Герона:

Радиусы вписанной и описанной окружности:



  1. Равносторонний треугольник:



  1. Прямоугольный треугольник:



Теорема Пифагора:





Центр описанной окружности – середина гипотенузы.

Четырехугольник

  1. Параллелограмм.





Связь между сторонами и диагоналями:



  1. Прямоугольник.





  1. Квадрат.



  1. Ромб.



  1. Трапеция.



MN- средняя линия.

Правильный шестиугольник.



Выпуклый n-угольник.

Сумма внутренних углов: .

Сумма внешних углов равна 360˚.


Свойства высоты в прямоугольном треугольнике.



Свойство биссектрисы в произвольном треугольнике.



Окружность и круг.





d=2R. Длина окружности:

Площадь круга: .

Длина дуги:

  1. Свойство хорд, касательных и секущей.

AK∙KB=DK∙KC (свойство хорд)

KB∙AK=KC∙KD (свойство секущих)

(свойство касательной и секущей).

(свойство радиуса и касательной).

  1. Свойство четырехугольника, вписанного и описанного вокруг окружности.

ABCD – трапеция, вписанная в окружность: AB=CD.

ABCD – трапеция, описанная около окружности: AB+CD=AD+BC.


Декартовые координаты и вектора.

  1. координаты середины отрезка.

Точка C(x,y,z) – середина AB, где



  1. расстояние между точками



  1. симметрия:

    1. относительно точки О



    1. относительно прямой а



    1. относительно плоскости



  1. параллельный перенос

x′= x+a; y′= y+b; z′= z+c.

  1. координаты вектора



  1. модуль вектора ( абсолютная величина вектора или длина вектора )



  1. сумма и разность векторов



  1. коллинеарность ( параллельность ) векторов

и коллинеарны, если , если k>0, то вектора сонаправлены, если k<0, то вектора противоположно направлены.

  1. скалярное произведение векторов



  1. перпендикулярность векторов

если , то =0

  1. графическое сложение и вычитание векторов

правило треугольника (сложение ) :



Правило параллелограмма (сложение ) :



Правило вычитания:



  1. Уравнение окружности:

, где R – радиус окружности, точка (a;b) – центр окружности.

  1. Уравнение прямой:

ax+by+c=0.

Взаимное расположение прямых и :

  1. Прямые параллельны, если ;

  2. Прямые совпадают, если ;

  3. Прямые пересекаются, если .

Стереометрия.

Угол между прямой и плоскостью:



AB – прямая, AC – перпендикуляр, BC – проекция.

^ Угол между плоскостями ( двугранный угол )

или




Площадь ортогональной проекции

ABD – проекция ABC. Угол между плоскостями - .



Куб.

все ребра равны, все грани – квадраты.



Прямоугольный параллелепипед.

все грани прямоугольники, диагональ ,


Призма.

Прямая призма.





Наклонная призма.



Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней или , где - периметр перпендикулярного сечения (MNK), l – боковое ребро.



Пирамида.

Произвольная пирамида:





Правильная пирамида.

SK = l – апофема.



Усеченная правильная пирамида.





Положение высоты в пирамидах.

  1. Если все боковые ребра равны или наклонены к основанию под одинаковым углом, то основание высоты – центр описанной окружности.

OA=OB=OC=R

  1. Если все боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом или все высоты боковых граней равны, то основание высоты – центр вписанной окружности.

OK=r – радиус вписанной окружности.



  1. Если одна боковая грань перпендикулярна к основанию, то высота пирамиды является высотой этой боковой грани.




  1. Если две боковые грани перпендикулярны к основанию, то высотой пирамиды является их общее боковое ребро.



^ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Цилиндр.





Конус.




Усеченный конус.





Сфера и шар.





Сегмент.



- высота сегмента.

- радиус шара.

- площадь сферической поверхности сегмента.



Сектор.



Шаровой срез ( слой ).











sr-holmogorov-razrabotka-dolzhnostnih-instrukcij-specialistov-na-primere-dolzhnostnoj-instrukcii-vedushego-inzhenera-tehnologa.html
srav-nitelnij-portret-muzhskoj-populyacii-izmerenie-urovnya-samoaktualizacii-kulturno-prosvetitelskaya-fabula.html
sravnenie-dvuh-form-osushestvleniya-predprinimatelskoj-deyatelnosti-3.html
sravnenie-grineva-i-shvabrina.html
sravnenie-ksenonovoj-anestezii-i-totalnoj-vnutrivennoj-anestezii-u-pacientov-hirurgicheskogo-profilya-s-visokim-riskom.html
sravnenie-oboronitelnih-operacij-kievskoj-i-leningradskoj.html
  • holiday.bystrickaya.ru/obrazovatelnaya-programma-pechori-2010g-kratkie-svedeniya-o-sostave-i-strukture-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-ego-osnovnih-dostizheniyah-i-problemah-stranica-6.html
  • studies.bystrickaya.ru/konstituciya-ssha-ta-realni-prava-gromadyan.html
  • desk.bystrickaya.ru/plan-raboti-upravleniya-federalnoj-sluzhbi-gosudarstvennoj-registracii-kadastra-i-kartografii-po-respublike-bashkortostan-na-2011-god-stranica-2.html
  • college.bystrickaya.ru/114-predyavlenie-kontrolnoj-raboti-metodicheskie-rekomendacii-po-organizacii-samostoyatelnoj-raboti-studentov.html
  • university.bystrickaya.ru/gde-to-reet-burevestnik-vozmezdie.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tema-1-dokumentirovanie-upravlencheskoj-deyatelnosti-uchebno-metodicheskij-kompleks-dlya-specialnostej-080106.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/razrabotka-tehnologicheskih-reshenij-po-pererabotke-visokoparafinistih-neftej-na-primere-stavropolsko-dagestanskoj-neftesmesi.html
  • turn.bystrickaya.ru/planirovanie-i-promer-glubin-v-pribrezhnoj-zone-sudovimi-sredstvami-chast-6.html
  • testyi.bystrickaya.ru/avdasheva-s-b.html
  • notebook.bystrickaya.ru/habarovskij-kraj-monitoring-sredstv-massovoj-informacii-22-sentyabrya-2010-goda.html
  • education.bystrickaya.ru/-neizvestnie-stranici-russkoj-istorii-stranica-30.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tema-1vzaimodejstvie-urovnej-modeli-osi-lekciya.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/publichnij-doklad-municipalnogo-obsheobrazovatelnogo-uchrezhdeniya-licej-1-za-2010-2011-uchebnij-god.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/aktualnost-prekrasnogo-chast1.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-2-bolcmanovskie-kineticheskie-uravneniya-pod-redakciej-prof-l-a-shelepina-i-s-poslesloviem-prof-d-v-korolkova.html
  • composition.bystrickaya.ru/plan-raboti-ministerstva-obrazovaniya-moskovskoj-oblasti-na-ipolugodie-2012-g-yanvar-stranica-16.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/kosmicheskaya-gonka.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/predstavlenie-forma-individualnogo-chuvstvennogo-poznaniya-imeyushaya-svoim-rezultatom-cennostnij-obraz-obekta-voznikayushij-vne-neposredstvennogo-vozdejstviya-p.html
  • knigi.bystrickaya.ru/sobranie-sochinenij-55-pechataetsya-po-postanovleniyu-centralnogo-komiteta-stranica-3.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/programma-oblastnoj-nauchno-prakticheskoj-konferencii.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vedomstvennie-normativnie-dokumenti-vipusk-11-sentyabr-2007g-stranica-57.html
  • holiday.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-po-vipolneniyu-kontrolnoj-raboti-dlya-studentov-ekonomicheskih-specialnostej-iifo-habarovsk.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/vserossijskaya-nauchno-prakticheskaya-konferenciya-aktualnie-voprosi-svyazej-s-obshestvennostyu-i-reklami.html
  • studies.bystrickaya.ru/3-prichini-razrusheniya-drevnerusskoj-e-g-mesherina-muzikalnaya-kultura.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-2-psihologicheskie-osnovi-tehnologij-obucheniya-uchebnoe-posobie-izdatelstvo-tpu-tomsk-2003.html
  • doklad.bystrickaya.ru/viktor-murahovskij-semen-fedoseev-stranica-7.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/uchebnij-plan-kratkosrochnoj-dopolnitelnoj-obrazovatelnoj-programmi-povisheniya-kvalifikacii-vvedenie-v-sistemu-inzhenernogo-analiza-msc-nastran-i-prepost-processor-msc-patran.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-1-harakteristika-tendencij-razvitiya-novoj-ekonomiki-a-yu-zabrodin-intellektualnie-uslugi-v-biznese.html
  • urok.bystrickaya.ru/primernoe-soderzhatelnoe-opisanie-kazhdogo-kriteriya-primernaya-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-investicionnoe-proektirovanie-na-gosudarstvennih-i-chastnih-predpriyatiyah-rekomenduetsya-dlya-napravleniya-podgotovki.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uchrezhdenie-obrazovaniya-gomelskij-inzhenernij-institut-ministerstva-po-chrezvichajnim-situaciyam-respubliki-belarus.html
  • predmet.bystrickaya.ru/serebryakovoj-nadezhdi-petrovni.html
  • tests.bystrickaya.ru/l-o-badalyan-obuchenie-i-vospitanie-detej-gruppi-riska-m-1996-s-30-40.html
  • notebook.bystrickaya.ru/internet-resursi-diplom-v-rassrochku-12.html
  • report.bystrickaya.ru/kadrovaya-politika-respubliki-belarus.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.