.RU

Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев. Процесс «решения» уравнения есть просто


НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЕ n-СТЕПЕНИ.

Епифанцева Е. С.

8 класс, ОШ с. Колхозное, Осакаровского района

рук. Зимина Л. И.


Литература

  1. Алгебра 8 класс, Шыныбеков А. Н.

  2. Возникновение и развитие математической науки, К. А. Рыбников.

  3. Нестандартные задачи по алгебре, Ф. А. Бартенев.

  4. Школьникам о математике и математиках, М. М. Лиман.

  5. Уравнения и неравенства, М. И. Башмаков.

  6. Сборник задач Московских математических олимпиад, Г. И. Зубелевич.

  7. Сборник задач по элементарной математике, М. П. Ляпин.

  8. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ, И. Н. Бронштейн и К.А. Семендяев.



Процесс «решения» уравнения есть просто

акт приведения его к возможно более простой форме.

В какой бы форме уравнение ни было написано,

его информационный характер остаётся тот же.

Но в некоторых формах его нелегко прочесть.

Решение его иногда аналогично интерпретации

иероглифа или переводу незнакомой фразы на

понятный язык.

Лодж. О.


Алгебра в её современном состоянии представляет собой объединение большого числа математических теорий. Алгебраическая часть школьного курса алгебры концентрируется вокруг следующих проблем: тождественное преобразований алгебраических выражений, решение и исследование алгебраических уравнений, ознакомление с простейшими функциями и способами их исследования. В трудах Омара Хайяма сформулировано определение алгебры. « Алгебра есть научное искусство. Её предмет – это абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесённые к какой-либо известной вещи так, что их можно определить; эта известная вещь есть количество или индивидуально определённое отношение, и к этой известной вещи приходят, анализируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения, связывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершенство этого искусства состоит в знании математических методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое определение как числовых, так и геометрических неизвестных… Алгебраические решения, как это хорошо известно, производятся лишь с помощью уравнения, т.е. приравниваем одних степеней другим».

Уравнения, рассматриваемые в данном сообщении, будут решаться на множестве действительных чисел, так как автор, ученица 8 класса не знакома с комплексными числами.

Цель данного доклада – показать рациональные способы решения уравнений n-степени. Применяемые здесь теоремы используются без доказательства.

Уравнения первой степени (линейные) вида ах+в=0, имеют один корень если а≠0 и в≠0, имеют бесконечное множество корней если а=0 и в=0 и не имеют корней если а=0 и в≠0. Решают уравнения делением х=-в:а.

Уравнения второй степени (квадратные) вида ах²+вх+с=0 или (после деления на а) х²+рх+q=0 могут иметь один корень, два корня или не иметь корней. Свойства квадратичной функции, используемые при решении этих уравнений, убедительно демонстрируют это. Известно, что парабола у=ах²+вх+с может иметь с осью х две точки пересечения, одну точку пересечения (касаться оси х) и не иметь точек пересечения, то есть парабола может находиться в верхней полуплоскости или в нижней полуплоскости.

Квадратные уравнения имеют много различных аналитических способов решения, и применение этих способов для каждого конкретного случая даёт возможность решать уравнения рационально. Перечислю коротко способы (приемы) решения квадратных уравнений.

1). 3х²-5=0 это уравнение решаем перенесением числа 5 в правую часть:

х = ± √5/3.

2). 4х² - 25=0 уравнение такого же типа, но рациональнее его решить разложением на множители, используя разность квадратов: (2х-5)(2х+5)=0.

3). 5х² + 8х=0 неполное квадратное уравнение, используем вынесение общего множителя за скобку: х(5х + 8)=0.

4). К некоторым уравнениям для разложения левой части на множители можно применить способ группировки: х²+5х+6=0; (х²+3х)+ (2х+6)=0.

х(х+3)+2(х+3)=0; (х+2)(х+3)=0.

5). Уравнения, имеющие в левой части полый квадрат, рационально решать с применением этой формулы 25х² +60х+36=0; (5х+6)²=0.

6). Ряд квадратных уравнений можно решать, используя свойства корней квадратного уравнения. Так для нахождения целых корней приведённого квадратного уравнения можно использовать теорему Виета и ей обратную. х²+2х-15=0; произведение корней равно -15, сумма корней равна -2, исходя из этого условия получаем подбором корни -5 и 3.

7).Если для квадратного уравнения ах² + вх + с=0 выполняется одно из равенств, а+в+с=0 или а-в+с =0, то в устной форме легко определяются корни уравнения по удобному алгоритму:

«а» плюс, минус «в» плюс «с»

Приравнялась вдруг к нулю,

Вот такие уравненья я решать очень люблю:

Единицу запишу, а потом деление

Букву «с» делю на «а»-

Вот и всё решение .

Если для условия равенства нулю указанной суммы «в» берётся с противоположны знаком , то и корни берутся с противоположными знаками. 7х² -16х+9=0; 7-16+9=0 → х=1 и х=9/7

7х²+ 16х+9 =0 ; 7-16+9=0→х=-1 и х=-9/7

8.Чаще всего школьники применяют для решения квадратных уравнений формулы корней . Применять формулы следует рационально. Для общего случая: х=-в-√D и х=-в+√D , где D=в²-4ас

2а 2а

9.Если «в» является чётным числом, то используется упрощенная формула : х=-к±√Ď, где Ď= к²-ас (к=в/2)

а

10.Упрощенная формула корней применяется и для приведенного квадратного уравнения вида х²+pх+q=0, которое не имеет целых корней. Общая формула корней приведённого квадратного уравнения

Х1,2=±

Уравнение с одним неизвестным F(х)=f(х) называется равенство двух функций от одной и той же переменной величины, верно лишь при некоторых определенных значениях этой переменной, а её значения при которых уравнение верно,- корнями или решениями уравнения.

Уравнение называется алгебраическим, если каждая из входящих в него функций F(х) и f(х) является алгебраической (рациональной или нерациональной). Одна из этих функций может быть постоянной величиной.

Из всякого алгебраического уравнения может быть путём алгебраических преобразований получено уравнение в канонической форме:

Р(х)=аохⁿ+а1хⁿ‾¹+а2хⁿ‾²+…аn


(а может быть сделано равным 1), которое имеет те же корни, что и данное (и, может быть, некоторое лишнее).

Показатель n называется степенью уравнения.

Алгебра долго развивалась как наука о решении уравнений, причем прежде всего уравнений вида:

аохⁿ+а1хⁿ‾¹+а2хⁿ‾²+…аn =0

Для решения уравнений такого вида используем:

1). Теорему Безу и её

Следствие. Для того, чтобы многочлен f(х) делился на разность х-а, необходимо и достаточно, чтобы f(а)=0.

2). Теорему Гаусса. Всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один корень, вещественный или комплексный.

Следствие. Алгебраическое уравнение имеет столько корней, вещественных или комплексных, сколько единиц в показателе его степени, причём корни считаются столько раз, какова их кратность.

3). Теорему Виета и её

Следствие. Если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена уравнения а n.

4). Схему Горнера, слайд 1

которой удобно пользоваться для определения частного от деления многочлена f(х) на разность х-а.




ао

а 1

а 2

…..

аn

а

ао

а1 =аао + а1

в2= ав1+а2

.….

R=авn-1+аn


Пример 1. Разложив многочлен на множители, мы можем находить целые корни подбором. Например:

х-2х³-8х²+13х-10=0,

среди его корней находятся числа ±1,±10,±2,±5.

F(1)= 1-2-8+13-10≠0

F(-1)=-1+2-8-13-10≠0

F(2)=32-16-32+26-10=0; х1=2

F(-2)=-32+16-32-26-10≠0

F(5)=3125-250-200+65-10≠0

F(-5)=-3125+250-200-65-10≠0

F(10)=10000-2000-800+130-10≠0

F(-10)=-10000+2000-800-130-10≠0.

При разложении на множители многочлена используют теорему: Пусть дано уравнение:

f(х)=0,

D – область определения f, и пусть функция f представлена в виде произведения функций g1,g2,….., gk, которые имеют ту же область определения D. Тогда множество решений уравнения f(х)=0 есть объединение множеств решений уравнений

g1(х)=0, g2(х)=0,……, gk(х)=0.

Разделим многочлен х-2х³-8х²+13-10 на (х-2) и получим произведение

(х-2)(х-2х³+2х²-4х+5) =0

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами осуществляется с помощью теоремы: «Если несократимая дробь есть корень многочлена аnхⁿ+а n-1хⁿ‾¹+…+а 1х+ао с целыми коэффициентами, то ао делится на p, а аn делится на q» и её следствий.

Следствие 1. Если а0=1, то уравнение с целыми коэффициентами не имеет дробных корней.

Следствие 2. Если ао≠1, аn=1, то уравнение с целыми коэффициентами может иметь дробные корни только вида

В этом случае, полагая х=, получим уравнение:

уⁿ+а n-1уⁿ‾¹+…..+а 1у+а0=0,

которое дробных корней не имеет, но зато может иметь целые корни.

Пример 2 Слайд 2

Уравнение 36х+12х³-11х²-2х+1=0 не имеет целых корней. Для его решения поступим следующим образом:

  1. х=

Произведя замену и разделив полученное уравнение на у,получаем:

2) у-2у³-11у²+12у+36=0

3) Проверка показывает, что у=-2, значит многочлен

у-2у³-11у²+12у+36 делится на (у+2). Разделив данный многочлен на у+2 получаем у³-4у²-3у+18.Решив уравнение у³-4у²-3у+18, подбором целых корней по свободному члену, выясняем, что у2=3.

4) Значит х=-, х=

При решении уравнений необходимо обращать внимание на область определения, чтобы не попасть в ловушку с лишними корнями или потерей корней. Таким образом, способы, которыми мы решаем уравнение, состоят в следующем: мы строим цепочку уравнений, в которой первое написанное уравнение – это то, которое нам дано, а дальше каждое уравнение является следствием предыдущего, то есть множество его решений содержит в себе все решения предыдущего; решения последнего уравнения нам известны; затем с помощью проверки мы выясняем, какие из решений последнего уравнения являются решениями первого.

Мы должны проделывать с уравнением только такие операции, при которых не может потеряться ни одно решение, то есть , чтобы они годились для всех «х» из области определения. Поскольку нахождение области определения процесс иногда более трудоёмкий , чем решение уравнения. Целесообразно перед началом решения выписать все «запреты» и в ходе решения сверяться с выписанными условиями.

Естественно, при преобразованиях годятся все такие операции, которые переводят любое верное равенство в верное.

Перечислим конкретно все такие операции. Пусть дано уравнение f1(х)=f2(х).

Пусть g – функция, определенная при всех тех значениях аргумента, при которых определены функции f1 и f2. Тогда уравнения:

1) f1(х)×g(х)=f2(х)×g(х),

2) f1(х)+g(х)=f2(х)+g(х)

являются следствиями уравнения f1(х)=f2(х).

Пусть g – произвольная функция, которая определена при всех возможных значениях функций f1 и f2. Тогда уравнение:

3) g(f1(х))=g(f2(х))

является следствием уравнения f1(х)=f2(х).

Необходимо помнить, что делить обе части уравнения на функцию, которая обращается в 0, нельзя. Вместо этого нужно перенести все члены уравнения в одну часть, вынести общие множители за скобку и воспользоваться теоремой о представлении левой части уравнения в виде произведения .

Кроме области определения полезно знать количество корней, которое имеет уравнение. Основная теорема алгебры гласит: «Всякое уравнение n-степени, коэффициенты которого – действительные ли комплексные числа, имеет n корней, действительных или комплексных, если k- кратный корень считать за k корней. Из этой теоремы следует, что всякое уравнение нечётной степени имеет, по меньшей мере, один действительный корень.

Самое трудное при решении уравнении придумать, как свести его к более простым. Замена одного уравнения другим, ему равносильным, множество решений которого по каким-то причинам найти легче, является основным приёмом при решении уравнений. Одним из способов решения уравнений является замена неизвестного. Выполненная замена упрощает вид уравнения, примером уравнения такого типа являются биквадратные уравнения:

ах + вх²+ с= 0, (замена х²=у)

Знание решения биквадратного уравнения поможет в решении таких уравнений:

Пример 3: (х²-х+1)-6х²(х²-х+1)²+5х=0 Слайд 3

Обозначим х²-х+1=у, перепишем уравнение у-6х²у²+5х=0, решим его относительно у².

у²=3х²±2х²; у²=5х²; у²=х².

Замена переменной широко используется и в уравнениях специального вида:

Пример 4 (х² + х +1)² - 3(х² + х +1) + 2 = 0,

а так же в уравнения, которые можно привести к специальному виду:

Пример 5 х(х +1)(х +2)(х +3)=24

х+6х³+11х²+6х-24=0

(х²+3х)(х²+3х+2)-24=0

1)х²+3х=у

2)у(у+2)-24=0

3)у1=-6 у2=4

4)х²+3х=-6 х²+3х=4

х²+3х+6=0 х²+3х-4=0

D=в²-4ас=9-24=-15<0(корней нет) 1+3-4=0 →х1=1, х2=-4

Ответ: х1=1; х2=-4.

Пример 6: (х-2)(х-3)²(х-4)=20

(х²-6х+9)(х²-6х+8)-20=0

  1. х²-6х+9=у

  2. у(у-1)-20=0

  3. у²-у-20

у1=5 у2=-4

4) х²-6х+9=5 х²-6х+9=-4

х²-6х+4=0 х²-6х+13=0

D´=n²-ас= 9-4=5>0(2к.) D'=n²-ac=9-13=-4<0(корней нет)

х1,2==3±√5


Симметричное уравнение n-го порядка имеет вид:

ахⁿ+вхⁿ‾¹+сⁿ‾²+….+сх²+вх+а=0, а≠0,

то есть коэффициенты, «равноудаленные» от начала и конца уравнения, равны между собой.

Возвратными называются уравнения чётной степени, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от концов многочлена, равны при х в четных степенях, равны или отличаются знаками при х в нечетных степенях, например:

ах+вх³+сх²±вх+а=0

С помощью подстановок х+ =у или х-=у, соответственно степень понижается вдвое.

Решение симметричных уравнений нечетного порядка несколько иначе, чем решение уравнений четного порядка. Для решения подобных уравнений сначала группируют члены с одинаковыми коэффициентами.

Коэффициенты при нечетных степенях х противоположны по знаку. Такие уравнения называются симметричными уравнениями 2 рода и их решают аналогично.

Пример7. Рассмотрим решение симметричного уравнения четного порядка:

х-7х³+14х²-7х+1=0 Слайд 4

(х+1)+(-7х³-7х)+14х²=0

Разделив данное уравнение на х², получим:

(х²+)-7(х+)+14=0

Возведя выражение х+ в квадрат и заменив его буквой у, получаем:

у²-7у+12=0

у1=4 у2=3

Для нахождения корней симметрического уравнения достаточно решить уравнения:

х+=4 и х+=3.

Пример 8. Теперь рассмотрим пример решения уравнений нечетного порядка:

12х+18х-45х³-45х²+18х+12=0

Сгруппировав члены с одинаковыми коэффициентами, имеем:

(х+1)(12(х-х³+х²-х+1)+18х(х²-х+1)-45х²)=0

(х+1)(12х+6х³-51х²+6х+12)=0

Из уравнения х+1=0 находим первый корень данного уравнения: х1=-1. А другие корни уравнения находятся при решении симметричного уравнения


12х+6х³-51х²+6х+12=0.

Разделив это уравнение на х², получаем:

12(х²+)+6(х+)-51=0

Отсюда введя обозначение у= х+, приведём его к уравнению:

12у²+6у-75=0

Или разделив обе части уравнения на 3, имеем:

4у²+2у-25=0,

Корни, которого равны у1,2=-1±. Следовательно, чтобы решить уравнение, нужно найти корни уравнений: х+=-1- и

х+=-1+.

Пример 9. Рассмотрим пример решения симметричного уравнения 2 рода:

30х-17х³-228х²+17х+30=0

Разделив данное уравнение на х², получим:

30(х²+)-17(х-)-228=0

Обозначив х-=у, а х²+=у²+2, заменим следующим уравнением:

30(у²+2)-17у-228=0

30у²-17у-168=0

Его корни у1=; у2=-2,1. Значит корни уравнения находим из уравнений: х-= - и х-=. Следовательно корни исходного уравнения равны: х1=-; х2=; х3=3; х4=-. Слайд 5

Пример 10. Найдём корни уравнения х-3х³+9х²-27х+81=0.

Это уравнение не является симметричным, но его можно решать методом решения симметричных уравнений. Для этого разделим его на 9х²:



Отсюда, вводя обозначение у=х+ и учитывая, что х²+=у²-18, получим уравнение у²-3у-9=0. Его корни: у1,2=Следовательно, имеем уравнение х+или 2х²-(3±√5)х+18=0, которые не имеют корней.

Пример 11. Рассмотрим ещё один пример решения уравнения способом симметричного:

х+1=2(1+х)

х+1-2(1+х)=0

х+1-2(1+4х+6х²+4х³+х)=0

х+1-2 ((1+х)+4(х³+х)+6х²)=0

(х+1)-2(1+х)-8(х³+х)-12х²=0

Разделим полученное уравнение на х², получим:



Сведение уравнения к системе уравнений – это ещё один приём решений уравнения высшей степени.

Пример 12: х+(1-х)=17

  1. 1-х=у

  2. х+у=17

х+у=1 Возведём в система уравнений второе уравнение в четвёртую степень, получим систему

х+у=17

х+4х³+6х²у²+4ху³+у=1

4х³у+6х²у²+4ху³=-16

(4х³у+4ху³)+6х²у²=-16

4ху(х²+у²)+6х²у²=-16

4ху((х+у)²-2ху)+6(ху)²)=-16

Слайд 6

х+у=1

4ху(1-2ху)+6(ху)²=-16


х+у=1

4ху-8(ху)²+6(ху)²=-16


-2(ху)²+4ху=-16

-2(ху)²+4ху+16=0

Полученное уравнение разделим на -2, тогда имеем:

  1. ху=z

z²-2z-8=0

z1=4 z2=-2

Остаётся решить системы уравнений:

ху=4 ху=-2

х+у=1 х+у=1

Для упрощения решения уравнений нередко применяются формулы сокращенного умножения.

Пример 13 Слайд 7

х-5х³+10х²-10х+4=0

1). Разделив это уравнение на х², выделяем полный квадрат и получаем уравнение специального вида, затем это уравнение приводим к квадратному:

х²-5х+10- (х² + ; (х+

а) =1; х2=2;

б) это уравнение не имеет действительных корней.

2). Применяя формулу бинома Ньютона, где n=5, это уравнение можно решить другим способом.

Умножим обе части уравнения на х , получим:

х-5х+10х³-10х²+4х=0

(х-1)-(х-1)=0;

(х-1)((х-1)-1)=0

(х-1)((х-1)²+1)(х-1)²-1)=0

Х1=1; х2=2; х3=0, но корень х=0 посторонний корень.

Пример 14. (8х+7)²(4х+3)(х+1)=

Умножим обе части уравнения на 16, получим:

(8х+7)²(8х+6)(8х+8)=72.

Обозначим 8х+7=у, тогда уравнение примет вид:

у²(у-1)(у+1)=72;

у-у²-72=0.

Следует помнить ещё об одном способе решения уравнений.

Графическая иллюстрация уравнения и его корней подсказывает, на первый взгляд, и способ решения уравнения – начертим две кривые и найдём их точки пересечения. Действительно, если выбрать не слишком мелкий масштаб и начертить графики достаточно аккуратно, мы сможем приближенно найти точки пересечения. Но для того, чтобы найти координаты точек пресечения точно, как раз и нужно решить соответствующее уравнение! В то же время графическая иллюстрация часто помогает дать некоторые качественные ответы: найти число корней, грубо указать отрезки на числовой оси, где они могут находиться и т.п.

Для графического решения часто бывает полезно переписать уравнение в виде f1(x)=f2(x) c таким расчетом, чтобы графики у=f1(x) и у=f2(x) было удобно построить.

Решение уравнений одна из основных задач алгебры, т. е. как сказал Омар Хайям: «Алгебраические решения проводятся лишь с помощью уравнений».

Научиться решать уравнения – благодарная миссия так как роль их определена Чосером Д:

«Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешал проблем!

И засуху предсказывал, и ливни.

Поистине его познанья дивны.»

srok-za-narkotiki-i-oruzhie-poyasnitelnaya-zapiska-federalnij-zakon-o-vnesenii-izmenenij-v-statyu-1-federalnogo.html
sroki-hraneniya-markshejderskoj-dokumentacii-metodicheskie-rekomendacii-po-proizvodstvu-markshejderskih-rabot-pri.html
sroki-i-mesta-provedeniya-spartakiadi.html
sroki-i-ozhidaemie-rezultati-realizacii-meropriyatij-programmi-programma-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-rostovskoj.html
sroki-ispolneniya-gosudarstvennoj-funkcii-administrativnijreglamen-t-federalnoj-sluzhbi-po-nadzoru-v-sfere-transporta.html
sroki-mesto-i-usloviya-provedeniya-festivalya.html
  • lesson.bystrickaya.ru/prikaz-po-shkole-ot-200-g.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-2-koneles-v-yu-k-64-soshedshie-s-nebes-i-sotvorivshie-lyudej.html
  • occupation.bystrickaya.ru/novosti-obyavleniya.html
  • education.bystrickaya.ru/1-pervij-pozitivizm-i-stanovlenie-uchebnoe-posobie-po-discipline-filosofiya-nauki-dlya-aspirantov-i-soiskatelej-yurgtu-npi.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tehnologiya-prigotovleniya-italyanskih-muchnih-kulinarnih-izdelij-osobennosti-prigotovleniya-i-realizacii.html
  • universitet.bystrickaya.ru/svyaz-s-ustanovleniem-logicheskogo-soedineniya-i-peredacha-dannih-s-pomoshyu-soobshenij.html
  • college.bystrickaya.ru/3-obshie-voprosi-teorii-invariantnosti-primenitelno-k-izmeritelnim-preobrazovatelyam-kompleksa-parametrov-154.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prilozhenie-1-otchet-ispolnitelnoj-direkcii-asdg-sovetu-asdg-i-x.html
  • gramota.bystrickaya.ru/zdorovesohranyayushie-obrazovatelnie-tehnologii-v-sovremennoj-shkole.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zhizn-i-vozzreniya-k-g-yunga-karl-gustav-yung-rodilsya-26-iyulya-1875-g-v-shvejcarskom-mestechke-kesvil-v-seme-svyashennika-evangelicheski-reformatskoj-cerkvi-semya-yu-stranica-29.html
  • lesson.bystrickaya.ru/model-professionalnih-kompetencij-vospitatelya-detskogo-doma-departament-obrazovaniya-vologodskoj-oblasti.html
  • znanie.bystrickaya.ru/a-a-belyakov-gl-13-1-4-gl-29-34-v-i-brilev-gl-38-v-soavtorstve-s-l-l-kanevskim-m-h-valeev-gl-36-v-soavtorstve-s-l-l-kanevskim-i-v-n-karagodinim-i-f-gerasimov-gl-5-v-soavtorstve-s-l-stranica-4.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tema-temperament-lekciya-tema-predmet-psihologii-ee-zadachi-i-metodi.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/primenenie-metoda-klasternogo-analiza-pri-formirovanii-assortimenta.html
  • abstract.bystrickaya.ru/103-uslugi-po-podklyucheniyu-novih-territorialnih-obektov-rspd-rosimushestva.html
  • occupation.bystrickaya.ru/nauchno-issledovatelskaya-deyatelnost-ya-i-kuzminov-prisutstvovali.html
  • books.bystrickaya.ru/biosintez-i-bioenergetika-celitelnie-sili-tom-2-malahov-stranica-16.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tematicheskoe-planirovanie-po-literature-5-klass-po-programme.html
  • textbook.bystrickaya.ru/informacionnij-byulleten-novih-knig-postupivshih-v-biblioteku-ngti-v-dekabre-2006-goda.html
  • lecture.bystrickaya.ru/97-gospodi-vsemudrij-uprav-ochi-moi-v-tajni-knigi-tvoej-predislovie.html
  • crib.bystrickaya.ru/itogi-provedennih-reform-33-spisok-literaturi-40-vvedenie.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/uroven-kvalifikacii-pedagogicheskih-rabotnikov-mou-dod-ddt-oktyabrskij-v-2010-2011-uchg.html
  • literature.bystrickaya.ru/devis-erik-tehnognozis-mif-magiya-i-misticizm-v-informacionnuyu-epohu-stranica-23.html
  • textbook.bystrickaya.ru/guniya-chh-abhaziya-v-sisteme-geopoliticheskih-interesov-rossii-v-proshlom-ippk-pri-rgu.html
  • urok.bystrickaya.ru/prilozhenie-3-plan-upravleniya-proektom-integratora-ot-zakazchika-utverzhdayu.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/nastrojki-multiplexmono-ustrojstvo-radiopriemnoe-onkyo-tx-n-r-1-007-rukovodstvo-po-ekspluatacii.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/lotta-pereezzhaet-figdor-g-psihoanaliticheskaya-pedagogika.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/mayak-novosti-16022007-stadnickaya-lora-0900-boris-grizlov-monitoring-smi-17-19.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-edinoj-rossii-ustupaet-lavri-vnimanie-vnimanie-vnimanie.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/urok-tema-obedinenie-francii.html
  • testyi.bystrickaya.ru/aktivizaciya-znanij-i-deyatelnosti-uchashihsya-na-urokah-mhk-cherez-metod-issledovaniya-izuchaemogo-materiala.html
  • lecture.bystrickaya.ru/7-szhatie-tonalya-karlos-kastaneda.html
  • universitet.bystrickaya.ru/srednevekovij-gorod-viktorovna-centr-obrazovaniya-109-g-moskva.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kontrolnie-voprosi-po-kursu-istoriya-psihologii-prep-shabelnikov-stroenie-teoreticheskih-ponyatij-kak-otrazhenie-logiki-razvitiya-predmeta-g.html
  • credit.bystrickaya.ru/pechataya-nastoyashij-ocherk-sostavlyayushij-odnu-iz-glav-prigotovlyaemoj-k-izdaniyu-knigi-kavkaz-i-ego-narodi-schitayu-lishnim-vhodit-v-podrobnie-obyasneniya-o-neobhod-stranica-6.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.